可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的!這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢?根據排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據S的定義，S就不屬于S;反之，如果S不屬于S，同樣根據定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。
3.6 羅素其實，在羅素之前集合論中就已經發現了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數悖論。1899年，康托爾自己發現了最大基數悖論。但是，由于這兩個悖論都涉及集合中的許多復雜理論，所以只是在數學界揭起了一點小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信后傷心地說：“一個科學家所遇到的最不合心意的事莫過于是在他的工作即將結束時，其基礎崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置于這個境地。”戴德金也因此推遲了他的《什么是數的本質和作用》一文的再版。可以說，這一悖論就象在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。
危機產生后，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾;另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。”1908年，策梅羅在自已這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，后來經其他數學家改進，稱為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。公理化集合系統的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展等等。
以上簡單介紹了數學史上由于數學悖論而導致的三次數學危機與度過，從中我們不難看到數學??出問題就是解決問題的一半”，而數學悖論提出的正是讓數學家無法回避的問題。它對數學家說：“解決我，不然我將吞掉你的體系!”正如希爾伯特在<論無限>一文中所指出的那樣：“必須承認，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。人們試想：在數學這個號稱可靠性和真理性的模范里，每一個人所學的、教的和應用的那些概念結構和推理方法竟會導致不合理的結果。如果甚至于數學思考也失靈的話，那么應該到哪里去尋找可靠性和真理性呢?”悖論的出現逼迫數學家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應運而生了：第一次數學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生;第二次數學危機促成了分析基礎理論的完善與集合論的創立;第三次數學危機促成了數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。數學由此獲得了蓬勃發展，這或許就是數學悖論重要意義之所在吧。
